ch6. Linearization과 Lyapunov stability

즉 equilibrium point는 상태 방정식에서 x_dot이 0이 되도록 하는 값이다. x,u값을 말한다.

우선 P-matrix를 배우고 어떻게 사용하는지 확인해볼 것이다. 

위에서 배운 P-matrix는 Quadratic function을 구하여 positive definite를 판단하는데 사용한다.

위 내용을 통해 우리가 Quadratic function으로 positive definite개념을 배워는데 왜 배웠는지 알아보면

Lyapunov stability: Symetric Matrix를 만족하는 P>0에 대해 Quadratic function>0을 만족하고 V_dot인 위 식에 대해 negative definite를 만족하면 Quadratic function식이 t가 무한대일때 0으로 수렴하여 asymptatically stable하다. 

위 안정성을 왜 따지나 내가 X에 대한 동적 특성을 잘 모를때 V를 잘 설계하면 X(상태변수)를 해석할 수 있다.

즉 Quadratic function의 안정성을 판별해준다. 이때 만족하는 x값은 equilibrium point가 된다.

sylvester's criterion의 경우 symetric한 Q나 P행렬에 대해 leading principal minor가 모두 양수이면

각 행렬에 대한 아래와 같은 구조가 positive definite를 판별할 수 있다. 하지만 나머지에 대해선 따지기 힘들다.

즉 pd의 범위를 구할때만 사용하기도 한다.

위 내용은 전달함수에서 Routh test를 통해 안정성을 구하는 것과 state space model에서 Lyapunov stability를 따지는 것과 유사함을 말하는 것이다.

Lyapunov stability 장점: 미분방정식 필요없고, 복잡하거나 불확실한 시스템에서도 적용이 가능하다는 점이 있다.

위 식에서 A-Matrix는 모두 negative real part로 안정함을 보이는데(A<0)

하지만 리어폰너브 안정성 판별에서 A2 MATRIX에 대해선 안정성을 보이지 못했다. 왜 그럴까?

우리가 초기 쿼드래틱 함수의 P를 잘 잡아주지 못해서이다.

위에 별표 5개짜리의 원리를 보자. 그러면 먼저 Q가 pd가 되도록 아무렇게나 잡고 Q를 통해 P를 구해주면 

A2에 대해서도 안정성을 가지는 P 행렬을 찾을 수 있게 된다.